.RU

* - ВНИМАНИЕ - Правила проведения коллоквиума и экзамена 3 Часть




* - ВНИМАНИЕ: Две последние задачи следует решить ПРАВИЛЬНО, найдя ошибку в предложенном в задачнике неверном решении.


^ Рядом с текущим номером задачи в скобках указан номер соответствующей задачи в задачнике:

М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко, Интегральные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: Учебное пособие. Изд.3-е, испр.- М.: Едиториал УРСС, 2003.-192 с.

Примерные вопросы и задачи обязательного теста на коллоквиуме


Вопросы


  1. Выписать уравнения Вольтерра 1-го и 2-го рода с указанием всех входящих в них объектов.

  2. Выписать уравнения Фредгольма 1-го и 2-го рода с указанием всех входящих в них объектов.

  3. Дать определение вырожденного ядра.

  4. Дать определение повторного (итерированного) ядра интегрального оператора Вольтерра. Ядром какого интегрального оператора оно является?

  5. Дать определение повторного (итерированного) ядра интегрального оператора Фредгольма. Ядром какого интегрального оператора оно является?

  6. Дать определение сопряженного интегрального уравнения.

  7. Дать определение характеристического числа и собственной функции интегрального оператора Фредгольма.

  8. Сформулировать условие разрешимости неоднородной системы алгебраических уравнений.

  9. Дать определение конечномерного оператора.

  10. Дать определение компактного оператора.

  11. Сформулировать теорему о характеристических числах компактного интегрального оператора Фредгольма (1-я теорема Фредгольма) .

  12. Сформулировать альтернативу Фредгольма (2-я теорема Фредгольма).

  13. Сформулировать теорему о характеристических числах и собственных функциях уравнения Фредгольма и сопряженного с ним интегрального уравнения (3-я теорема Фредгольма).

  14. Сформулировать теорему о необходимом и достаточном условии разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода (4-я теорема Фредгольма).

  15. Дать интерпретацию преобразования Фурье как интегрального уравнения. Выписать его решение.

  16. Описать основные этапы метода решается уравнение Фредгольма с разностным ядром на всей оси.

  17. Описать схему построения последовательных приближений для интегрального уравнения Вольтерра.

  18. Сформулировать условия, при которых последовательные приближения для интегрального уравнения Вольтерра сходятся в случае непрерывного ядра?

  19. Каковы свойства характеристических чисел интегрального оператора Вольтерра?

  20. Записать интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром.

  21. Описать схему построения последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма.

  22. Сформулировать условия, при которых последовательные приближения для интегрального уравнения Фредгольма сходятся в случае непрерывного ядра?

  23. Написать оценку для радиуса круга на комплексной плоскости спектрального параметра, внутри которого не могут находится характеристические числа уравнения

  24. Выписать резольвенту Фредгольма и описать ее аналитические свойства.

  25. Что такое определитель Фредгольма и каковы его аналитические свойства.

  26. Что такое минор Фредгольма и каковы его аналитические свойства.

  27. Описать связь между характеристическими числами уравнения Фредгольма и аналитической структурой ядра резольвенты.

  28. Записать решение неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с помощью ядра резольвенты (разрешающего ядра).

  29. Выписать ряд Неймана для резольвенты уравнения Фредгольма и указать его радиус сходимости.

  30. Описать свойства характеристических чисел и собственных функций самосопряженного ядра

  31. Указать на специфику теорем Фредгольма в случае компактного самосопряженного уравнения.

  32. Написать билинейное разложение для самосопряженного ядра.

  33. Написать билинейное разложение для резольвенты самосопряженного ядра.

  34. Написать формулу Шмидта для решений самосопряженного уравнения Фредгольма.



Задачи


1. Решить интегральное уравнение Вольтерра методом последовательных приближений:



2. Решить интегральное уравнение Фредгольма методом последовательных приближений:



3. Построить резольвенту для ядра уравнения Фредгольма:



4. Решить интегральное уравнение Фредгольма с помощью резольвенты:



5. Решить интегральное уравнение с вырожденным ядром:



6. Найти характеристические числа и собственные функции уравнения:



7. При каких значениях параметров разрешимо уравнение:



Вопросы и задачи к необязательной письменной работе на коллоквиуме (для получения оценок хорошо и отлично)


Теоретические вопросы


  1. Решение уравнение Абеля.

  2. Сведение задачи Коши для дифференциального уравнения к интегральному уравнению.

  3. Сведение краевой задачи для дифференциального уравнения к интегральному уравнению.

  4. Доказательство сходимости метода последовательных приближений для уравнения Вольтерра.

  5. Доказательство сходимости метода последовательных приближений для уравнения Фредгольма с малым ядром (в круге ).

  6. Доказательство сходимости метода последовательных приближений для уравнения Фредгольма с малым ядром (в круге ).

  7. Резольвента уравнения Фредгольма, вывод условия сходимости ряда Неймана, свойства резольвенты.

  8. Решение интегральных уравнений с вырожденным ядром.

  9. Вывод условия разрешимости неоднородного уравнения Фредгольма (доказательство 4-й теоремы Фредгольма для уравнения с вырожденным ядром).

  10. Определитель Фредгольма. Доказательство сходимости ряда.

  11. Минор Фредгольма. Доказательство сходимости ряда.

  12. Резольвента Фредгольма. Доказательство утверждения о полюсах резольвенты.

  13. Доказательство второй теорема Фредгольма (альтернативы Фредгольма) для уравнения с вырожденным ядром.

  14. Доказательство равенства количества собственных функции основного и сопряженного уравнений (третья теорема Фредгольма) для уравнения с вырожденным ядром.

  15. Конечномерные и компактные операторы. Примеры соответствующих интегральных операторов.

  16. Сведение уравнения с компактным оператором к уравнению с конечномерным оператором.

  17. Доказательство свойств характеристических чисел и собственных функций компактного самосопряженного интегрального уравнения. Ортогонализация по Шмидту собственных функций, отвечающих кратному характеристическому числу.

  18. Вывод билинейного разложения для компактного самосопряженного ядра. Формулы следа.

  19. Вывод билинейной формулы для резольвенты самосопряженного ядра.

  20. Вывод формул Шмидта для решений (случай однозначной и случай неоднозначной разрешимости).


Типовые задачи


1. Решить уравнение Фредгольма 1 рода:



2. Решить уравнение Абеля:



3. Свести к интегральному уравнению задачу Коши:



4. Свести к интегральному уравнению краевую задачу



5. Построить функцию Грина для краевой задачи:



6. Используя функцию Грина, решить краевую задачу:



7. Решить уравнение с разностным ядром:



8. Решить с помощью резольвенты уравнение Вольтерра:



9. Решить уравнение Фредгольма методом последовательных приближений:



9. Построить резольвенту для ядра



10. Решить уравнение c вырожденным ядром:



11. Найти характеристические числа и собственные функции уравнения:



12. Пользуясь определителями Фредгольма, найти резольвенту ядра:


13. Исследовать на разрешимость при различных значениях параметра уравнение:



14. Решить уравнение с симметричным ядром:



15. Решить симметричное уравнение в случае, когда не является характеристическим числом (с помощью формулы Шмидта):



Более полный список задач можно найти на сайте http://mph.phys.spbu.ru/~l.a.dmitrieva/

в разделе «Домашние задания»

^ Часть II: Остальные дополнительные главы. Экзамен


Задачи и комментарии по теме «теория потенциала» (27.10-24.11)

^ Лекция от 27 октября 2010 г .

Номер задачи

Формулировка

комментарий

1

Проверить, что функции и являются фундаментальными решениями оператора Гельмгольца в трехмерном пространстве.

§ 6.5

2

Проверить, что функции и является фундаментальными решениями оператора Гельмгольца в одномерном случае.




3

Методом преобразования Фурье найти фундаментальные решения оператора Гельмгольца в двумерном пространстве.

(Ответ: и )

§ 11.9

4

Проверить, что функции и удовлетворяют условиям излучения (при соответствующем выборе знака в условии).




5

Показать, что сферическая волна уходит в бесконечность (рассеянная волна), а сферическая волна приходит из бесконечности (падающая волна). Указание: вычислить соответствующие токи вероятности и




7

С помощью определения свертки обобщенных функций получить явную формулу для потенциала простого слоя (здесь обобщенная функция простого слоя )

§ 7.10

(для оценок отлично и хорошо)

8

С помощью определения свертки обобщенных функций получить явную формулу для потенциала двойного слоя (здесь обобщенная функция двойного слоя)

§ 7.10

(для оценок отлично и хорошо)

9

Пояснить физический смысл обобщенной функции двойного слоя на поверхности.

§ 6.5 и 6.4

2-harakteristika-professionalnoj-deyatelnosti-vipusknika-osnovnoj-obrazovatelnoj-programmi-stranica-2.html
2-informacionnaya-i-kommunikacionnaya-revolyuciya-l-ionin-sociologiya-v-obshestve-znanij.html
2-ispolzovanie-spasatelnih-parashyutov-pri-svobodnih-poletah-na-avs-rekomendacii-po-sostavleniyu-rukovodstva-po-proizvodstvu-poletov.html
2-j-klass-3468-ch-programma-izobrazitelnoe-iskusstvo-i-hudozhestvennij-trud.html
2-kak-nauchitsya-rasskazivat-istorii-pro-enni-rukovodstvo-dlya-nachinayushih-fej-predislovie-vvedenie-primenenie.html
2-klass-metodicheskie-rekomendacii-po-realizacii-programmi-poyasnitelnaya-zapiska-planiruemie-rezultati-osvoeniya.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tvorcheskaya-rabota-rostki-vozrozhdeniya.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/ul-ciolkovskogo-23-e-mail-rootnkfi-ru.html
  • institute.bystrickaya.ru/formirovanie-fondov-bibliotek-respubliki-kareliya-v-2006-godu-podpiska-otchet-za-2006-god-direktor-nb-rk.html
  • studies.bystrickaya.ru/glava-13-o-krilatom-tanke-isaev-a-chobitok-v-irincheev-b-rubeckij-o-pernavskij-g-i-dr-red-sost-g-pernavskij.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/monografiya-vladivostok-iapu-dvo-ran-2001-s-184-stranica-11.html
  • letter.bystrickaya.ru/norvegiya-uchebnoe-posobie-dlya-vuzov-stranica-6.html
  • reading.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-samostoyatelnoj-rabote-zaochnaya-forma-obucheniya.html
  • crib.bystrickaya.ru/informaciya-ob-itogah-viezdnogo-priema-grazhdan-upolnomochennim-po-pravam-cheloveka-uchebnoe-posobie-sankt-peterburg-2010-bbk-67-400-7-p-69.html
  • student.bystrickaya.ru/-sostoyalos-ocherednoe-zasedanie-prezidiuma-soveta-municipalnih-obrazovanij-oblasti.html
  • testyi.bystrickaya.ru/8-socialnaya-aktivnost-i-vneshnie-svyazi-uchrezhdeniya-publichnij-doklad.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/programma-disciplini-etiket-v-mezhdunarodnoj-praktike-i-delovom-obshenii-dlya-specialnosti-021100-yurisprudenciya-3-stupen-visshego-professionalnogo-obrazovaniya.html
  • books.bystrickaya.ru/chast-vtoraya-1940-god-aleksandr-nikolaevich-alyabev.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/unifikaciya-normativnoj-pravovoj-terminologii-i-edinoe-pravovoe-prostranstvo-rossii.html
  • writing.bystrickaya.ru/futuristi.html
  • abstract.bystrickaya.ru/19-tipovaya-tehnologicheskaya-shema-avtomatizirovannogo-neftedobivayushego-predpriyatiya.html
  • literatura.bystrickaya.ru/sekciya-4-teoriya-i-praktika-ucheta-analiza-i-audita-transformaciya-rossijskogo-obshestva-v-nachale-xxi-veka.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-5-seksualnie-otnosheniya-i-prodolzhenie-roda-reshenie-velikoj-golovolomki.html
  • notebook.bystrickaya.ru/kalendarno-tematicheskij-plan-po-discipline-ekonomika-obshestvennogo-sektora-status-disciplini.html
  • reading.bystrickaya.ru/konkretnie-voprosi-voznikayushie-v-federalnih-gosudarstvah-nekotorie-primeri-24-stranica-8.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/regulyativnie-rabochaya-programma-po-uchebnomu-predmetu-okruzhayushij-mir-1-klass.html
  • report.bystrickaya.ru/ispolzovanie-it-v-izuchenii-istorii-vzaimootnoshenij-rossii-i-sredneaziatskih-hanstv-v-pervoj-polovine-xix-v.html
  • urok.bystrickaya.ru/prilozhenie-24-auamoctuka-psihicheskogo-razvitiya-detej-37-let-m-yu-kondratev-kollektiv.html
  • predmet.bystrickaya.ru/rinok-perestrahovaniya-v-rossii-perezhivaet-tyazhelie-vremena-vzaimnosti.html
  • institute.bystrickaya.ru/glava-106-prava-i-obyazannosti-nalogoplatelshika-i-nalogovogo-agenta-predstavitelstvo-v-nalogovih-otnosheniyah.html
  • student.bystrickaya.ru/24-zhiznennij-cikl-tovara-marketing.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/poznanya-net-bez-svobodi-truda-bez-tvorcheskoj-mechti-stranica-4.html
  • composition.bystrickaya.ru/polozhenie-o-spasatelnoj-sluzhbe-zashiti-kulturnih-cennostej.html
  • reading.bystrickaya.ru/lekciya-religiya-i-nevroz-stranica-15.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-i-uchebno-metodicheskie-materiali-kursa-po-specialnosti-021100-yurisprudenciya.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/diversifikaciya-proizvodstva-i-razvitie-menedzhmenta.html
  • turn.bystrickaya.ru/pbk-daily-moskva-n020-622009-selina-marinanazarova-yuliya-rinok-vnutrennego-sgoraniya.html
  • thescience.bystrickaya.ru/kniga-posvyashena-issledovaniyu-istoriko-filosofskih-uchenij-razvivaemih-sovremennimi-predstavitelyami-advajta-vedanti-naibolee-vliyatelnoj-filosofskoj-doktrini-segodnyashnej-indii.html
  • occupation.bystrickaya.ru/obem-proektirovaniya-sistemi-distancionnogo-monitoringa-inzhenernih-sistem-zdaniya.html
  • textbook.bystrickaya.ru/itogi-socialno-ekonomicheskogo-razvitiya-egorevskogo-municipalnogo-rajona-za-2009-god-i-zadachi-na-2010-god.html
  • control.bystrickaya.ru/ekologicheskie-harakteristiki-gidroenergetiki-vliyanie-otraslej-promishlennosti-na-ekologiyu-okruzhayushej-sredi-materiali.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.